Парадоксы Зенона «…вызвали такое волнение,
что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь»

Д. Я. Стройк, Краткий очерк истории математики,
М., «Наука», 1964 г., с. 53.

Зенон сформулировал ряд апорий («неразрешимых положений»), показав – говоря современным языком – что в них считаются совпадающими два процесса: само физическое движение и возникновение в нашем сознании последовательности его отдельных фрагментов, а это ведёт к логическим противоречиям.

«Из 45 апорий, выдвинутых Зеноном, до нас дошло 9 . Классическими являются пять апорий, в которых Зенон анализирует понятия множества и движения. Первую, получившую название «апория меры», Симпликий излагает следующим образом: «Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон, прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину в своё предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными».

Аргумент Зенона, вероятнее всего, направлен против пифагорейского представления о том, что тела «состоят из чисел».

В самом деле, если мыслить число как точку, не имеющую величины («толщины», протяженности), то сумма таких точек (тело) тоже не будет иметь величины, если же мыслить число «телесной, как имеющее некоторую конечную величину, то, поскольку тело содержит бесконечное количество таких точек (ибо тело, по допущению Зенона, можно делить «без предела»), оно должно иметь бесконечную величину. Из этого следует, что невозможно мыслить тело в виде суммы неделимых единиц, как это мы видели у пифагорейцев .

Можно, пожалуй, сказать, продолжив мысль Зенона: если «единица» неделима, то она не имеет пространственной величины (точки); если же она имеет величину, пусть как угодно малую, то она делима до бесконечности. Элеаты впервые поставили перед наукой вопрос, который является одним из важнейших методологических вопросов и по сей день: как следует мыслить континуум - дискретным или непрерывным? состоящим из неделимых (единиц, «единств», монад) или же делимым до бесконечности?

Любая величина должна быть понята теперь с точки зрения того, состоит ли она из единиц (как арифметическое число пифагорейцев), неделимых «целых», или она сама есть целое, а составляющие её элементы самостоятельного существования не имеют. Этот вопрос ставится и по отношению к числу, и по отношению к пространственной величине (линии, плоскости, объёму), и по отношению к времени. В зависимости от решения проблемы континуума формируются и разные методы изучения природы и человека, т. е. разные научные программы».

Гайденко П.П., Эволюция понятия науки: становление и развитие первых научных программ, М., «Урсс», 2010 г., с. 65-67.

«О Зеноне Элейском и его парадоксах, таких, например, как известная загадка про быстроногого Ахиллеса, который не может догнать черепаху, казалось бы, написано уже так много, что вряд ли ещё раз требуется возвращаться к сформулированным им еще в V в. до н. э. «трудным вопросам» (апориям), относящимся к отображению движения в науке и к понятию «множества» (к соотношению непрерывного и дискретного).

С тех пор апории Зенона не переставали интересовать математиков и философов. Однако вплоть до наших дней на их счёт существуют самые разнообразные мнения: от совершенно-пренебрежительного отношения к ним до признания того, что они относятся к наиболее важным и трудным вопросам обоснования математики и физики.

Так, известному французскому математику Полю Леви парадокс об Ахиллесе и черепахе представляется очевидной нелепостью.

«Почему воображать себе, - пишет он, - что время остановит свой ход вследствие того, что некий философ занимается перечислением членов сходящегося ряда?» «Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях вполне разумные, могут оказаться смущёнными этим парадоксом, и ответ, который я только что наметил, есть тот самый ответ, который я дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс, или, точнее, есть тот самый ответ, который я резюмировал тогда такой немногословной формулой: «Этот грек был идиотом».

Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, быть может, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но моё удивление перед умами, смущаемыми понятием сходящегося ряда, осталось тем же. (Р. Levy, A propos du paradoxe et de la logique,. «Rev. Meta-phys. Morale», 1957, N 2, p. 130)».

Яновская С. А., Методологические проблемы науки, М., «КомКнига», 2006 г., с. 214.

Зенон Элейский - греческий логик и философ, который в основном известен по парадоксам, названным в его честь. О его жизни известно не очень много. Родной город Зенона - Элея. Также в трудах Платона упоминалась встреча философа с Сократом.

Примерно в 465 году до н. э. Зенон написал книгу, где подробно изложил все свои идеи. Но, к сожалению, до наших дней она не дошла. Согласно легенде, философ погиб в бою с тираном (предположительно, главой Элеи Неархом). Всю информацию о Элейском собирали по крупицам: из трудов Платона (родившегося на 60 лет позже Зенона), Аристотеля и Диогена Лаэртия, написавшего три века спустя книгу биографий греческих философов. Упоминания о Зеноне есть и в трудах поздних представителей школы греческой философии: Фемистия (4 век н. э.), Александра Афродийского (3 век н. э.), а также Филопона и Симплиция (оба жили в 6 веке н. э.). Причём данные в этих источниках настолько хорошо согласуются между собой, что по ним можно реконструировать все идеи философа. В этой статье мы расскажем вам про парадоксы Зенона. Итак, приступим.

Парадоксы множества

Ещё с эпохи Пифагора пространство и время рассматривались исключительно с точки зрения математики. То есть считалось, что они составлены из множества моментов и точек. Однако у них есть свойство, которое проще ощутить, чем определить, а именно «непрерывность». Некоторые парадоксы Зенона доказывают, что её невозможно разделить на моменты или точки. Рассуждение философа сводится к следующему: «Допустим, что мы провели деление до конца. Тогда верен только один вариант из двух: либо мы получим в остатке минимально возможные величины или части, которые неделимы, но бесконечны в своём количестве, либо деление приведёт нас к частям без величины, так как непрерывность, являясь однородной, должна быть делимой при любых обстоятельствах. Она не может быть в одной части делима, а в другой - нет. К сожалению, оба результата довольно нелепы. Первый из-за того, что процесс деления не может закончиться, пока в остатке есть части, имеющие величину. А второй потому, что в подобной ситуации изначально целое было бы сформировано из ничего». Симплиций приписывал данное рассуждение Пармениду, но более вероятно, что его автор - Зенон. Идём далее.

Парадоксы Зенона о движении

Они рассматриваются в большей части книг, посвящённых философу, поскольку вступают в диссонанс со свидетельствами чувств элеатов. Применительно к движению, выделяют следующие парадоксы Зенона: «Стрела», «Дихотомия», «Ахилл» и «Стадий». И дошли они до нас благодаря Аристотелю. Давайте рассмотрим их подробней.

«Стрела»

Другое название - квантовый парадокс Зенона. Философ утверждает, что любая вещь либо стоит на месте, либо движется. Но ничто не пребывает в движении, если занимаемое пространство равное ему по протяжённости. В определённый момент движущаяся стрела находится на одном месте. Поэтому она не движется. Симплиций сформулировал этот парадокс в краткой форме: «Летящий предмет занимает равное себе место в пространстве, а то, что занимает равное себе место в пространстве, не движется. Следовательно, стрела покоится». Фемистий и Фелопон сформулировали аналогичные варианты.

«Дихотомия»

Занимает второе место списка «Парадоксы Зенона». Он гласит следующее: «Прежде чем объект, который начал движение, сможет пройти определённое расстояние, он должен преодолеть половину данного пути, далее половину оставшегося и т. д. до бесконечности. Так как при повторных делениях расстояния пополам отрезок всё время становится конечным, а число данных отрезков бесконечно, то это расстояние невозможно преодолеть за конечное время. Причём данный довод справедлив как в отношении малых расстояний, так и больших скоростей. Следовательно, любое движение невозможно. То есть бегун даже не сможет стартовать».

Этот парадокс очень подробно прокомментировал Симплиций, указав, что в данном случае за конечное время нужно совершить бесконечное количество касаний. «Тот, кто чего-либо касается, может вести счёт, но бесконечное множество нельзя перебрать или сосчитать». Или, как сформулировал Филопон, бесконечное множество неопределимо.

«Ахилл»

Также известен, как парадокс черепахи Зенона. Это наиболее популярное рассуждение философа. В движения Ахиллес состязается в беге с черепахой, которой на старте даётся небольшая фора. Парадокс в том, что греческому воину не удастся догнать черепаху, так как сначала он добежит до места её старта, а она уже будет на следующей точке. То есть черепаха постоянно будет впереди Ахиллеса.

Этот парадокс очень похож на дихотомию, но здесь бесконечное деление идёт сообразно прогрессии. В случае же дихотомии была регрессия. К примеру, тот же бегун не может стартовать, потому что не может покинуть своего местонахождения. А в ситуации с Ахиллом, даже если бегун тронется с места, он всё равно никуда не прибежит.

«Стадий»

Если сравнивать все парадоксы Зенона по степени сложности, то этот вышел бы победителем. Он труднее прочих поддаётся изложению. Симплиций и Аристотель описали это рассуждение фрагментарно, и нельзя со 100 % уверенностью полагаться на его надёжность. Реконструкция данного парадокса имеет следующий вид: пусть А1, А2, А3 и А4 являются неподвижными телами равного размера, а Б1, Б2, Б3 и Б4 - это тела того же размера, что и А. Тела Б движутся вправо так, что каждое Б минует А за одно мгновение, являющееся наименьшим промежутком времени из всех возможных. Пусть В1, В2, В3 и В4 - тела идентичные А и Б, и движутся относительно А влево, преодолевая каждое из тел за одно мгновение.

Очевидно, что В1 преодолело все четыре тела Б. Примем за единицу время, понадобившееся одному телу В для прохождения одного тела Б. В этом случае на всё передвижение понадобилось четыре единицы. Однако считалось, что два момента, прошедших за это передвижение, минимальны и потому - неделимы. Из этого следует, что четыре неделимых единицы равны двум неделимым единицам.

«Место»

Итак, теперь вы знаете основные парадоксы Зенона Элейского. Осталось рассказать о последнем, который известен под названием «Место». Данный парадокс Зенону приписывает Аристотель. Похожие рассуждения приводились в трудах Филопона и Симплиция в 6 веке н. э. Вот как Аристотель рассказывает об этой проблеме в своей Физике: «Если существует какое-то место, то как определить, где оно находится? Затруднение, к которому пришел Зенон, требует объяснения. Поскольку всё существующее имеет место, то становится очевидным, что и у места должно быть место, и т. д. до бесконечности». По мнению большинства философов, парадокс здесь появляется только потому, что ничто из существующего не может отличаться от самого себя и содержаться само в себе. Филопон считает, что, акцентируя внимание на самопротиворечивости понятия «места», Зенон хотел доказать несостоятельность теории множественности.

Отправляясь куда бы то ни было, необходимо пройти сначала половину пути, затем половину оставшегося расстояния, и так до бесконечности. Отсюда неминуемо следует вывод: достичь конечного пункта в принципе невозможно, а стало быть, невозможно и само движение

Этот парадокс носит название парадокса дихотомии. Авторство приписывается древнегреческому философу Зенону. Предполагается, что он был сформулирован в качестве доказательства единичности вселенной, и того, что изменение, в том числе и движение - невозможно (как полагал учитель Зенона Парменид).

Люди интуитивно отвергали этот парадокс на протяжении многих веков. С математической точки зрения, решение, сформулированное в XIXвеке, состоит в том, чтобы признать, что половина плюс одна четвертая плюс одна восьмая плюс одна шестнадцатая и т.д. составляет единицу. Это все равно, что сказать: ноль целых и девять в периоде равно единице.

Однако, это теоретическое решение фактически не дает ответа на вопрос, как объект может достичь конечной точки своего движения. Решение этой задачи является более сложным и до сих пор не вполне понятным, если опираться на теории XX столетия, которые отрицают бесконечную делимость материи, времени и пространства.

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Вот еще одна апория, словами Зенона:

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

источники

Есть несколько формулировок парадокса, который утверждает, что движение невозможно. Ну помните, про невозможность обогнать черепаху, про вечное прохождение половины и про невозможности двигаться там где ты есть, и там, где тебя нет. Опровергну их логикой.

Есть еще четвертый парадокс, про колонны солдат идущих на встречу друг другу, который просто лажа какого-то тормоза, который 2+2 не смог посчитать. Вот так жестоко.

Итак, рассмотрим оставшиеся три варианта парадокса.

Вариант 1 (самый популярный)

Чтобы пересечь расстояние от А до Б, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это прохождение половины от остатка пути будет продолжаться до бесконечности и, хотя, объект будет приближаться бесконечно близко к Б, но непосредственно в точку Б никогда не попадет.

Лажаем этот парадокс один простым утверждением: «пространство дискретно». Шо бы это значило для доярки Тони? А вот что. Это значит, между А и Б нет бесконечного количества геометрических умозрительных точек, в которых может находится тело, которое движется из А и Б. А есть конечное количество конкретных позиций, в которых это тело может находится. Т.е. если есть две соседние такие позиции, то тело может быть или в одной позиции или в другой, но не посередине. Переход между ними происходит моментально. Доярка Тоня дальше не поймет, поэтому может пропустить. Это тоже самое, что энергетические уровни в атоме. Электрон может быть или на одном или на другом уровне, но не по середине. Почему мы этой дискретности не видим? А потому шо она махонькая такая. 10 в степени минус 33, планковская длина, так сказать. Меньше таких величин наши доблестные законы физики перестают работать, так как там – полный хаос по нашему будет. Откуда я это взял? См. теорию суперструн. Это не фантастика, если кто не знает, а реальная физическая теория, которая кое-что уже помогла посчитать и люди, которые в ней работают стараются объединить все известные силы. Т.е., перефразируя на простонародный, создать «теорию всего» или «материнскую теорию».

Вариант 2 (довольно популярный)

Ахилл решил потягаться с черепахой в беге. Дал ей немного форы. Чтобы догнать черепаху, Ахиллу сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Ну во-первых, не фига выпендриваться было и давать фору. Никогда не недооценивай черепаху. Во-вторых, рассмотрим этот вариант с позиции дискретного пространства. Ахилл более шустрый чувак и более энергичный. В данном случае, под энергичностью мы имеем ввиду способность Ахилла перескакивать от одной ячейки пространства к другой. Получается, например, чтобы перейти к следующей ячейке Ахиллу требуется всего 0.1 секунды (тормоз, но что поделать, если конечно кто понял), так как они накачивают свою материю движением более быстро. Черепаха же вообще убитая и энергетически никакая. Ей надо целую секунду, чтобы прокачать свою материю движением для перехода в следующую ячейку пространства. А до этого она все еще торчит в предыдущей. Т.е. пока она торчит в своей ячейки и накачивается для прыжка в следующую, Ахилл, уже прокачался движением 9 раз и перепрыгнул 9 ячеек. А черепаха все там же. Т.е. в большинстве случаев в этом соревновании неверна фраза «Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние». Не проползет, не успеет. Поэтому он ее быстро догонит и перегонит.

Вариант 3 (сначала кажется что классный, в потом понятно, что лингвистический прикол)

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Вот тут у меня тоже есть объяснение через дискретность пространства, но мне оно как-то не очень нравится, так как оно больше похоже на «сам дурак», чем на «а вот тут у вас ошибочка». Ну что поделать.

В общем, идея такая, что сама постановка вопроса не верна. Надо понять, что такое движение. В дискретном пространстве это процесс накопления некоторого потенциала к прыжку в следующую позицию и потом переход в другую позицию. Поэтому да, в процессе накопления объект занимает своей объем и не движется в нем, но потом он сразу, накопив нужное количество энергии движения, оказывается немного далее. Т.е. он не движется, там где его нет, он просто появляется там, где его нет. Вообще, некого бесконечно плавного движения просто нет.

А в этом парадоксе какая-то игра слов, «не может двигаться и в том месте, где его нет» - это просто прикол какой-то. Он движется не ТАМ, он движется ТУДА и может занять то пустое пространство.

Вот так, дискретное пространство устраняет парадоксы.

Зенон (ок. 490 г. До Р. Х. - ок. 430 г. До Р. Х.) принадлежал к элейской греческой философской школе, которая провозглашала, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Учитель Зенона Парменид утверждал: «Вселенная неизменна, ибо, признав изменение, мы признали бы небытие того, что существует, а лишь бытие существует» (). Точка зрения Зенона более диалектична. Он говорил: «Предположите существование вашего изменения; в нем, как в изменении, содержится его ничто, или, иначе говоря, оно не существует». При этом нужно заметить, что для Парменида изменение означало определенное и завершенное движение, а Зенон высказывался и выступал против движения как такового, или, иначе говоря, против чистого движения. «Чистое бытие не есть движение, оно, наоборот, есть ничто движения».

Тем, кто придерживался противоположной точки зрения Зенон предлагал опровергнуть его парадокс, сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), показывающий, что движение (образец «видимого» изменения) логически невозможно. Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией - от греч. dichotomia «разделение надвое»). Первая апория провозглашала, что невозможно пересечь комнату. Ведь сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием «Ахилл», еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл, непобедимый в беге, собирается состязаться с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.
А вот третья апория словами самого Зенона: «Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно. Этот парадокс называется «Стрела».
Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Апории Зенона будоражили творческую мысль с самого того времени, как они были сформулированы. Известно, что циник Диоген Синопский в ответ на доводы нашего философа молча встал и начал ходить взад и вперед; таким образом он опроверг его парадокс о невозможности движения делом. Но там, где ведут борьбу доводами, пишет Гегель, допустимо лишь такое же опровержение доводами; нельзя в таком случае удовольствоваться чувственной достоверностью, а нужно понять. К тому же наличность видимого движения и не оспаривалась Зеноном. Движение обладает чувственной достоверностью, оно существует, подобно тому, как существуют слоны; в этом смысле Зенону и на ум не приходило отрицать движение. Вопрос здесь идет о его истинности, но движение неистинно, ибо представление о нем содержит в себе противоречие; и значит движение не обладает истинным бытием. Опровержение данного положения - совсем другой уровень полемики и подняться до него не просто, поскольку в парадоксе Зенона едва ли не впервые оказались сведены воедино такие фундаментальные понятия, как «пространство», «время», «движение» и человеческое сознание. Соответственно, чтобы доказать нелепость его апорий, необходимо сначала определить философскую, физическую природу пространства, времени и движения.

Сам Гегель, уделивший парадоксу Зенона важное место в своих «Лекциях по истории философии», строит свои доводы следующим образом. Первая форма опровержения состоит в утверждении: «Движение не обладает истинностью, так как движущееся должно дойти до половины пространства, прежде чем оно дойдет до цели». То есть, мы должны признать, как предпосылку, непрерывность пространства. Движущееся должно достигнуть известного конечного пункта; этот путь представляет собою целое. Чтобы пройти целое, движущееся должно сначала пройти половину; теперь конечным пунктом является конец этой половины, но эта половина пространства есть в свою очередь целое, которое, таким образом, также имеет в себе половины; движущееся, следовательно, прежде должно дойти до половины этой половины – и т.д. до бесконечности. Зенон здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением. Каждая величина (а каждое время и каждое пространство всегда обладают величиной) делима в свою очередь на две половины, которые должны быть пройдены, и это всегда имеет место, какое бы маленькое пространство мы ни взяли. Движение оказывается прохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда не кончается; движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечного пункта.

Общее разрешение этого противоречия, даваемое Аристотелем, заключается в том, что пространство и время не бесконечно разделены, а лишь бесконечно делимы. Но может показаться и действительно кажется, что, будучи делимы, т.е. разделены в возможности, они должны быть разделены также и в действительности, ибо в противном случае их нельзя было бы делить до бесконечности. Исходя из этого соображения, мы, не задумываясь, соглашаемся, как с чем-то невинным, с утверждением, что движущееся должно дойти до половины; но, таким образом, пишет Гегель, мы уже согласились со всем остальным, т.е. согласились, что оно никогда не дойдет, ибо сказать это раз равнозначно повторению этого высказывания бесчисленное количество раз. Возражают, что в большом пространстве можно признать необходимость дойти до половины, но вместе с тем представляют себе дело так, что в очень маленьком пространстве доходят до такой точки, где деление пополам больше уже невозможно, т.е. доходят до неделимого, не непрерывного, доходят до того, что не есть пространство. Но это неверно, ибо непрерывность есть существенное определение; в предположении наличности половины содержится уже перерыв непрерывности. Следует сказать: не существует половины пространства, ибо пространство непрерывно; можно разломать на две половины кусок дерева, но не пространство, а в движении имеется только пространство. Можно было бы сказать: пространство состоит из бесконечно многих точек. Обыкновенно представляют себе, что можно переходить от одной такой неделимой точки к другой, но таким образом нельзя продвинуться дальше, ибо таких точек – бесчисленное множество. Своим невинным на первый взгляд допущением Зенон заставляет нас расщепить непрерывное на его противоположность, на неопределенное множество, в следствии этого мы не принимаем непрерывности и, следовательно, не принимаем наличности движения. Ошибочно утверждение, будто оно возможно, если дойдешь до одной такой точки, которая уже не непрерывна; это ошибочно, потому что движение есть связь.

Точно также обстоит дело со второй апорией. Более быстрое движение, утверждает Зенон, не помогает Ахиллу пробежать то расстояние, на которое оно отстает; время, которое он употребляет для этого, используется всегда и более медлительным, чтобы в продолжение его снова опередить первое, хотя и на все меньшее и меньшее расстояние, которое, однако, благодаря непрерывному делению пополам, никогда вполне не исчезает. Аристотель, рассматривая этот довод, говорит по поводу его кратко: «Это доказательство представляет ту же самую бесконечную деленность; оно, однако, ложно, ибо быстроходный все же догонит медленного, если будет дозволено преступить границу». Его ответ, пишет Гегель, правилен и содержит в себе все нужное: в этом представлении принимаются именно две точки времени и два пространства, отделенные друг от друга, т.е. отграниченные друг от друга; если же мы, напротив, примем, что время и пространство непрерывны, так что две точки времени или пространства, как непрерывные, соотнесены друг с другом, то они суть две точки и в равной же мере не суть две точки, а тождественны. В представлении мы разрешаем этот вопрос легче всего, говоря: «Так как второе тело быстроходнее, то оно в одно и то же самое время проходит более значительное пространство, чем медленно движущееся; оно, следовательно, может дойти до того места, откуда начинает свое движение первое тело, а затем – пойти еще дальше». Время, значит, и есть то ограниченное, за пределы которого, согласно Аристотелю, мы должны выйти, то, через которое должно проникнуть дальше; так как оно непрерывно, то мы, чтобы разрешить затруднение, должны сказать, что то, чт; мы различаем как две части времени, должно быть взято как одна часть времени. В движении две точки времени, равно как и две точки пространства, суть на самом деле одна точка. Ведь когда мы желаем уяснить себе вообще движение, мы говорим, что тело находится в одном месте, а затем идет в другое место. Во время движения оно уже не находится в первом месте, но вместе с тем еще не находится во втором месте; если бы оно находилось в одном из этих мест, оно находилось бы в покое. Но где же оно находится? Если скажем, что оно находится между этими двумя местами, то этим в действительности ничего не скажем, ибо в таком случае оно также находилось бы в одном месте, и перед нами возникло бы, следовательно, то же самое затруднение. Но двигаться означает быть в данном месте и в то же время не быть в нем, – следовательно, находиться в обоих местах одновременно; в этом состоит непрерывность времени и пространства, которая единственно только и делает возможным движение. Зенон же в своем умозаключении строго отделял друг от друга эти две точки. Дискретность времени и пространства признаем и мы, но в равной же мере им должно быть дозволено преступать границу, т.е. полагать границу как то, что не есть граница, или полагать деленные части времени, которые вместе с тем суть и неделенные части.

Из сказанного очевидно, каким образом можно опровергнуть третью апорию Зенон, когда он говорит: «Летящая стрела находится в покое, и именно потому, что движущееся всегда находится в равном себе «теперь» и равном себе «здесь», в неразличимом»; стрела – здесь и здесь и здесь. Мы можем сказать о стреле, что она всегда одна и та же, так как она всегда находится в одном и том же пространстве и в одном и том же времени; она не выходит за пределы своего пространства, не занимает другого, т.е. большего или меньшего пространства, но это мы называем не движением, а покоем. В «здесь» и «теперь» упразднено становление иным; в них, правда, положена ограниченность вообще, но она положена лишь как момент; так как в «здесь» и «теперь», как таковых, не содержится различия. Аристотель говорит об этом третьем доказательстве: «Оно возникает из того, что Зенон принимает, будто время состоит из теперь, но если мы не согласимся с этим, не получится и вывода».

Что до четвертого возражения Зенона, то оно построено на противоречии, получающемся при движении в противоположных направлениях; общее движение целиком получает одно тело, тогда как само по себе оно проделывает только часть. А на самом деле расстояние, пройденное одним телом, есть сумма расстояний, пройденных обоими.

Философия в эпоху греко-персидских войн